Abel Prize ประจำปี 2007

The Norwegian Academy of Science and Letters มอบ Abel Prize ประจำปี 2007 ให้แก่ Srinivasa S. R. Varadhan สำหรับงานเกี่ยวกับทฤษฎีความน่าจะเป็น (Probability Theory) โดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีเกี่ยวกับ large deviation

สมมุติว่าเราทอยเหรียญเหรียญหนึ่งหลายๆครั้ง ถ้าเหรียญนั้นเป็นเหรียญ "เที่ยงตรง" เราก็เดาได้ว่าเหรียญจะออกหน้าหัวประมาณครึ่งหนึ่งของการทอยทั้งหมด และจำนวนครั้งจะเข้าใกล้ 1/2 ขึ้นเรื่อยๆ เมื่อจำนวนครั้งที่ทอยเพิ่มขึ้น จากรูปเป็นผลที่ได้จากการทดลองทอยเหรียญสี่รอบ รอบละ 1,000 ครั้ง แล้วหาอัตราส่วนของครั้งที่ได้หน้าหัวมาวาดกราฟ จะเห็นว่ากราฟของเราจะลู่เข้าสู่ 1/2

ทีนี้เราลองเปลี่ยนมาดูความสูงของนักเรียนกันบ้าง สมมุติว่าเราเข้าไปในโรงเรียนอนุบาลแล้ววัดส่วนสูงของนักเรียนทั้งโรงเรียน มาวาดเป็นกราฟดูว่าที่แต่ละความสูงมีนักเรียนกี่คนบ้าง เราจะได้กราฟที่มีลักษณะคล้ายระฆังคว่ำ และถ้าเราเพิ่มจำนวนเด็กขึ้นมาเรื่อยๆ เราก็จะได้กราฟที่ดูสวยมากขึ้น กราฟที่ได้จะเป็นส่วนโค้งที่สมมาตรซ้ายขวา โดยที่ตรงจุดกึ่งกลางคือค่าเฉลี่ยของความสูงนักเรียนทั้งหมด ถ้าเราเปลี่ยนไปวันส่วนสูงของนักเรียนมัธยมแทน เราก็จะได้กราฟเป็นรูประฆังคว่ำเช่นกัน แต่จุดกึ่งกลางและความกว้างของฐานอาจจะต่างออกไป ดังรูปข้างล่าง

ทำไมเหตุการณ์สองเหตุการณ์ข้างต้นถึงสำคัญ ทั้งๆที่มันไม่ได้บอกรายละเอียดเราเลย เช่น การทอยเหรียญครั้งที่ 5 จะออกหน้าหัวหรือก้อย ถึงแม้ว่าเราจะทอยได้หน้าก้อยไปสี่ครั้งแล้ว มันสำคัญเพราะว่า บางครั้งเราสนใจข้อมูลทางสถิติจำนวนมาก เช่น ปริษัทประกันรถยนต์ไม่ได้สนใจรถแต่ละคัน แต่สนใจว่าจะมีอุบัติเหตุกี่ครั้งเกิดขึ้นกับรถคันใดก็ได้ที่ทำประกันด้วย บริษัทโทรศัพท์มือถือไม่สนใจว่าคุณจะโทรศัพท์ตอนไหน แต่สนใจว่าจะมีคนกี่คนที่พร้อมใจกันโทรศัพท์ในช่วงเวลาเร่งด่วน

ถ้าเราดูปัญหาทางสถิติทั้งหมด ปัญหาหลายปัญหาแก้ได้ด้วยวิธีการสองวิธีข้างต้น แต่ว่ามีปัญหาที่แก้ไม่ได้ ปัญหาที่น่าสนใจคือมันจะเบี่ยงเบนไปเท่าไหร่ (large deviations) เราลองกลับไปที่ปัญหาการทอยเหรียญ เพื่อทำความเข้าใจปัญหาของ large deviation เรารู้ว่า ในการทอยเหรียญ อัตราส่วนที่จะออกหน้าหัวควรจะเป็นประมาณ 1/2 แต่เหตุการณ์นี้ไม่จำเป็นต้องเกิดก็ได้ ถึงแม้ว่าเราจะทอยเหรียญ 1,000 ครั้ง ก็มีโอกาส (น้อยมากๆ) ที่จะได้หน้าหัวทุกครั้ง และโอกาสนี้ก็จะมากขึ้นถ้าเราบอกว่าโอกาสที่จะได้หน้าหัวมากกว่า 3/4 (แทนที่จะเป็นเท่ากับ 1/2) ทฤษฎี Large Deviations ใช้คำนวณหาโอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์พวกนี้

ทฤษฎี large deviation เกิดขึ้นมาตั้งแต่ช่วงปี 1930s โดย Harald Cram?r และ Varadhan มาศึกษาและขยายผล จนกระทั่งได้เครื่องมือที่สามารถใช้ได้กับทุกกรณีที่มีการสุ่ม (stochastic process) ตั้งแต่เศรษฐศาสตร์ การเงิน ถึงชีววิทยาและคอมพิวเตอร์

ความยากของสาขานี้คือ ในทฤษฎีความน่าจะเป็นแบบเดิม เหตุการย่อยๆ แต่ละเหตุการณ์จะไม่มีความสำคัญ เมื่อเทียบกับเหตุการณ์ที่สนใจจำนวนมาก แต่ในทฤษฎี large deviation เหตุการณ์ย่อยๆเหล่านี้มีความสำคัญมาก Varadhan ช่วยให้เรารู้ว่าข้อมูลที่ต้องใช้คืออะไรบ้าง และการขยายผลไปสู่สถานการณ์อื่นๆ

บริษัทประกันรถยนต์ใช้ทฤษฎีนี้ในการคำนวณหาโอกาสของเหตุการณ์ที่เกิดได้ยาก (แต่เป็นไปได้) เช่นรถทุกคันชนหมด ในการบริหารความเสี่ยงของการประกัน และคิดค่าประกันที่เหมาะสม ในทำนองเดียวกันบริษัทมือถือก็ใช้หาโอกาสที่ลูกค้าจะพร้อมใจกันโทรศัพท์ จนทำให้ระบบล่ม บางครั้งอาจจะคุ้มค่าที่จะลงทุนเพิ่มอีกนิดเพื่อลดโอกาสที่ระบบจะล่ม ดีกว่ามาฟังลูกค้าบ่นเรื่อยๆ

เหตุที่ Varadhan ได้รับรางวัล ไม่ใช่เพียงแค่งานของเขาสามารถประยุกต์ใช้ได้กว้าง แต่ยังมีความสวยงามในตัวของมันเอง ดังที่คณะกรรมการตัดสินกล่าวว่า "งานของ Varadhan ประกอบด้วยหลักการและความงาม ความคิดของเขามีอิทธิพลและจะยังกระตุ้นการทำวิจัยต่อเนื่องไปอีกนาน"

อ้างอิง แปล และตัดต่อจาก

การนำเสนอผลงานของ Varadhan ในเว็บไซต์ของ Abel Prize โดย Professor Tom Louis Lindstr?m

ประกาศในเว็บไซต์ของ Abel Prize

นิตยสาร Plus