จำนวน 7 ความเห็น, หน้า่ | -1-

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 1 24 มิ.ย. 2550 (21:39)
ช่วยกันคิดนะครับ ขุดๆ

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 2 24 มิ.ย. 2550 (23:22)
ยังไม่มีไอเดียเลยครับ

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 3 25 มิ.ย. 2550 (02:07)
อย่าคิดลึกดิครับมันไม่ยาก

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 4 25 มิ.ย. 2550 (16:02)
Hint:
1) [a(n)]^2 = [a(n-1)+1/a(n-1)]^2 =[a(n-1)]^2 + 2 + [1/a(n-1)]^2.
2) Use 1) to show that [a(n-1)]^2+2 < [a(n)]^2 <= [a(n-1)]^2 + 3.
3) Use 2) to show that 2n-1 <= [a(n)]^2 <= 3n-2 for any n. (The equality holds only when n=1).

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 5 25 มิ.ย. 2550 (16:37)
A stronger ineqality:
4n^2-2n-1 <= [a(n)]^4 <= 6n^2-3n-2.
This one implies that 71 < a(2535) < 79.

Another much stronger:
8n^3-3n^2-6n-2 <= [a(n)]^6 <= 12n^3-9n^2/2-27n/2+7.
This one gives 71 < a(2535) < 77.

One can justify that a(n) approaches sqrt(2n) as n approaches infinity. (Reference: Putnam Exam'2006 Problem B6).

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 6 25 มิ.ย. 2550 (19:44)
อสมการสองอันหลังนี่ คนคิดเค้าหาพวก 4n²-2n-1 มาได้ยังไงเนี่ย

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 7 25 มิ.ย. 2550 (20:27)
To show that a(n) ~ sqrt(2n), we may proceed by the following argument.
Let f_k(n) and g_k(n) be polynomials in n such that f_k(n) <= [a(n)]^(2k) <= g_k(n). (For examples, f_1(n) = 2n-1, g_1(n) = 3n-2, f_2(n) = 4n^2-2n-1, and g_2(n) = 6n^2-3n-2.)
Note that
[a(n)]^(2k) = [a(n-1)]^(2k) + C(2k,1)*[a(n-1)]^(2k-2) + ... (lower order terms).
Hence,
[a(n)]^(2k) >= [a(n-1)]^(2k) + 2k*[a(n-1)]^(2k-2) >= [a(n-1)]^(2k) + 2k*f_{k-1}(n-1).
Therefore, f_k(n) = sum(2k*f_{k-1}(j-1), j=1,...,n) + o((n^{k-1}).
We can proceed by induction on k that f_k(n) = 2^k*n^k + o(n^{k-1}).
Similar argument can be applied to prove that
g_k(n) = (3/2)*2^k*n^k + o(n^{k-1}).
Thus, f_k(n)/(2n)^k = 1 + o(1/n) and g_k(n)/(2n)^k = 3/2 + o(1/n).
Consequently
lim_{n->\infty} a(n)/sqrt(2n) <= lim_{k->\infty} lim_{n->\infty}[g_k(n)/(2n)^k]^(1/k) = lim_{k->\infty} (3/2)^(1/k) = 1.
Moreover,
lim_{n->\infty} a(n)/sqrt(2n) >= lim_{k->\infty} lim_{n->\infty}[f_k(n)/(2n)^k]^(1/k) = lim_{k->\infty} (1)^(1/k) = 1.
This proves our assertion.

(The similar pattern to this proof is used to determine those polynomials krub.)