วิชาการ.คอม - จำนวนจริง (จำนวนจริงคืออะไร?)

จำนวนจริง

ผู้เขียน ดร. ภคินี สุวรรณจันทร์

อยู่ในส่วน คณิตศาสตร์

ระดับของบทเรียน มัธยมศึกษาตอนต้น

ปรับปรุงล่าสุด 20 พ.ย. 2550 (00:29)

เข้าชมแล้ว 75382 ครั้ง (รวมทุกหน้า)
[Vote : 142

| Rating : 4.5]

สารบัญ
หน้าที่ 1 - จำนวนจริงคืออะไร?
หน้าที่ 2 - การแก้สมการพหุนามตัวแปรเดียว
หน้าที่ 3 - ช่วง
หน้าที่ 4 - การแก้อสมการ
หน้าที่ 5 - สัจพจน์ความบริบูรณ์ (The axiom of completeness)

หน้าที่ 1 - จำนวนจริงคืออะไร?

ทุกคนเคยสงสัยบ้างไหมคะว่า ตัวเลข หรือ จำนวนนั้น กำเนิดเกิดขึ้นมาจากอะไร ใครเป็นผู้คิดค้น แล้วทำไมในชีวิตประจำวันของพวกเราในสมัยนี้ทั้ง การเรียน การงาน หรือกระทั่งการดำเนินชีวิตส่วนใหญ่แล้วจึงเกี่ยวข้องกับคำว่า “จำนวน”

จำนวนคืออะไร?

ปัจจุบันหากพวกเราเลี้ยงสัตว์เพื่อจุดประสงค์เพื่อการค้าขาย หรือเลี้ยงไว้เพื่อครัวเรือนเองนั้น เราก็จะต้องมีการดูแลและคอยนับจำนวนสัตว์เลี้ยงที่อยู่ในความดูแลของพวกเราเสมอ อาจจะเพื่อการสำรองอาหารให้พอดีกับจำนวนสิ่งมีชีวิตที่เลี้ยงไว้ หรือ ป้องกันการลักลอบขโมยก็ได้ แล้วพวกเราเคยคิดกลับกันไหมว่า หากว่าเป็นในสมัยยุคดึกดำบรรพ์แล้วนั้น พวกเขาจะทำกันอย่างไร ในเมื่อในสมัยนั้นยังไม่มีการค้นพบตัวเลขใดๆทั้งสิ้น

ในสมัยโบราณนั้นถึงแม้ว่าจะยังไม่มีตัวเลขเกิดขึ้น แต่พวกเขาก็สามารถที่จะคอยนับจำนวนสัตว์เลี้ยงทีละตัวได้ด้วยการแทนก้อนหินหนึ่งก้อนเท่ากับจำนวนสัตว์หนึ่งตัว นั่นหมายถึงว่า ปริมาณของก้อนหินของพวกเขาจะต้องมีปริมาณเท่ากันทุกวัน น่าทึ่งไหมคะ

ดังนั้นเราจึงเห็นว่า มนุษย์มีการคิดเรื่องจำนวนมาตั้งแต่สมัยดึกดำบรรพ์ และ จำนวนที่มนุษย์คิดขึ้นได้เป็นครั้งแรกนั้นก็คือ “จำนวนนับ” หรือ ยกตัวอย่างได้ง่ายๆก็คือ 1,2,3,4,5,. . . ซึ่งเราจะกล่าวถึงในหัวข้อต่อไปคะ

มารู้จักความหมายที่แท้จริงของจำนวนจริงกันเถอะ!

จากแผนภาพข้างต้น คือองค์ประกอบที่สำคัญของจำนวนจริง ทีนี้เรามาดูกันดีกว่านะคะว่านิยามของแต่ละตัวภายในระบบจำนวนจริงนั้น มีอะไรบ้าง

จำนวนเต็ม

จากหัวข้อที่แล้ว ที่เคยเกริ่นไว้ตั้งแต่แรกไว้ว่า จำนวนที่มนุษย์ค้นพบได้เป็นครั้งแรกก็คือ จำนวนนับ นั่นก็คือ 1 2 3 4 5 ก็ถือได้ว่าเป็นจำนวนนับ (ในที่นี้จะหมายถึงเซตของจำนวนนับ) แทนสัญลักษณ์ไว้ด้วย $\mathbb{N}$ หากแต่ก็มีชื่อเรียกจำนวนนับดังข้างต้นได้อีกอย่างว่า “เซตของจำนวนเต็มบวก” ซึ่งแทนด้วย $\mathbb{I}^+$ นั่นก็คือ จำนวนดังกล่าวก็ถือได้ว่าเป็นจำนวนเต็มด้วยเช่นกัน แทนสัญลักษณ์จำนวนเต็มด้วย $\mathbb{I}$ ซึ่งจำนวนเต็มนี้ อาจจะเป็นจำนวนเต็มบวก จำนวนเต็มลบ ก็ได้ แล้วแต่ว่าจะกำหนดมาให้

ตัวอย่าง

$\mathcal{I} = \{0,-1,1,2,-2,3,-3, \cdots\}$

$\mathcal{I}^+ = \{1,2,3,4,5, \cdots\}$

$\mathcal{I}^- = \{\cdots ,-5,-4,-3,-2,-1\}$

0 ไม่ถือว่าเป็นทั้งจำนวนเต็มบวก หรือ จำนวนเต็มลบ แต่จะถือว่าเป็นเพียงแค่นวนเต็มศูนย์

จำนวนเศษส่วน

คงจะเป็นคำที่ชินชูชินตากันมาบ้างแล้วนะคะ สำหรับเรื่องเศษส่วนจำนวนเต็ม ซึ่งเป็นไปได้โดยง่ายเลยที่เราจะสามารถมองเห็นความแตกต่างระหว่างเศษส่วนและจำนวนเต็มได้เป็นอย่างดี

ตัวอย่าง

เศษส่วน : $\displaystyle{\frac{1}{2} , \frac{22}{7} , -\frac{131}{54}}$

จำนวนที่เป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มนั้น ตัวส่วนจะต้องไม่เป็นศูนย์ มิฉะนั้นแล้ว ค่าขอจำนวนจะกลายเป็นสิ่งที่ไม่สามารถหาค่าได้ หรือเป็น อินฟินิตี้

จำนวนตรรกยะ (rational number)

มาแล้วสำหรับคำแปลกๆในระบบจำนวนจริง แต่ไม่ต้องตกใจไปคะ จำนวนตรรกยะนั้นไม่ยากเกินกว่าที่พวกเราจะสามารถเข้าใจได้ จากแผนภาพทางข้างต้นที่กำหนดมาให้นั้น เราจะพบว่า ทั้งจำนวนเต็ม และจำนวนเศษส่วนนั้น ล้วนแล้วแต่เป็นองค์ประกอบของ จำนวนตรรกยะทั้งสิ้น แล้วมันเกี่ยวเนื่องกันอย่างไรละ ดังนั้น เราลองมาดูนิยามง่ายๆเกี่ยวกับความหมายของมันเลยดีกว่าคะ

จำนวนตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนอยู่ในรูปเศษส่วน $\frac{a}{b}$ โดยที่

และ

เป็นจำนวนเต็ม และ $b \neq 0$

จากนิยามทางข้างต้น ถ้าเราพบว่า

เป็นจำนวนเต็มใดๆ และ $\displaystyle{a = \frac{a}{1}}$ แล้วละก็ เราก็จะสามารถเขียน a ให้อยู่ในรูปของเศษส่วน ของจำนวนเต็มได้เสมอ เช่น $\displaystyle{5= \frac{5}{1} , 3= \frac{3}{1} , 0= \frac{0}{1} ,-4= -\frac{4}{1}}$ ดังนั้น เราจะเห็นได้ชัดๆ เลยนะว่า จำนวนเต็มทุกจำนวน เป็นจำนวนตรรกยะ และตอนนี้เราจะให้ $\mathcal{Q}$ แทนด้วยเซตของจำนวนตรรกยะ และเรามีนิยามสำหรับตัวมันเองด้วยก็คือ

$\displaystyle{\mathcal{Q} = \{x | x =\frac{a}{b}}$ เมื่อ $\displaystyle{a \in \mathcal{I}}$ , $\displaystyle{b \in \mathcal{I}}$ และ $b \neq 0\}$

จากทั้งหมดที่กล่าวถึงมานั้น ล้วนแล้วแต่เป็นความหมายที่เกี่ยวเนื่องกับจำนวนตรรกยะทั้งสิ้น ดังนั้น เราจะมาสรุปให้ชัดๆกันไปเลยว่า จำนวนตรรกยะนั้น ได้แก่จำนวนชนิดใดบ้าง ซึ่งจะแสดงให้ดูดังต่อไปนี้คะ

1. จำนวนเต็ม
2. จำนวนที่เป็นเศษส่วนของจำนวนเต็ม โดยที่ตัวส่วนจะไม่เป็นศูนย์
3.จำนวนที่เป็นทศนิยมรู้จบ
4.จำนวนที่เป็นทศนิยมซ้ำๆ

เรื่องสุดท้ายในหัวข้อนี้ เราจะรู้จักจำนวนนับ จำนวนเต็มศูนย์ จำนวนเต็มลบ และจำนวนตรรกยะ จากที่กำหนดให้ว่า

$\mathcal{Q}$ แทนเซตของจำนวนตรรกยะ
$\mathcal{I}$ แทนเซตของจำนวนเต็ม
$\mathcal{N}$ แทนเซตของจำนวนนับ
$\mathcal{I}^0$ แทนเซตของจำนวนเต็มศูนย์
$\mathcal{I^+}$ แทนเซตของจำนวนเต็มบวก
$\mathcal{I^-}$ แทนเซตของจำนวนเต็มลบ

เซตของจำนวนตรรกยะ เป็นเซตที่มีขอบเขตเพียงแค่ การบวก การลบ การคูณ และการหาร นอกจากนั้น เราพบว่า
ผลบวกของจำนวนตรรกยะ เป็นจำนวนตรรกยะ
ผลลบของจำนวนตรรกยะ เป็นจำนวนตรรกยะ
ผลคูณของจำนวนตรรกยะ เป็นจำนวนตรรกยะ
แสดงว่าเซตของจำนวนตรรกยะ มีคุณสมปิดของการบวก การลบ และการคูณ

จำนวนอตรรกยะ (irrational number)

เอ่ยกันมาน้านนาน สำหรับจำนวนตรรกยะ ถึงตอนนี้ เรามาดูองค์ประกอบอีกตัวหนึ่งของจำนวนจริงกันบ้าง นั่นก็คือ “จำนวนอตรรกยะ”

จำนวนอตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่ไม่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มโดยที่ตัวส่วนไม่เท่ากับศูนย์ แต่สามารถเขียนเป็นทศนิยมไม่รู้จบแบบไม่ซ้ำได้

เอ่ยแค่นิยาม ทุกคนก็คงจะทราบกันดีแล้วนะคะว่ามีความแตกต่างกันอย่างมากระหว่างจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ จำเป็นต้องอยู่ในรูปของทศนิยมแบบรู้จบ และสามารถเขียนเป็นเศษส่วนได้ ง่ายๆเลยใช่ไหมคะ ยกตัวอย่างให้เห็นง่ายเลยคือ ในจำนวนอตรรกยะนั้นอย่างเช่น $\sqrt{2}$ หรือ จำนวนในรูปที่ติดอยู่ในฟอร์มทศนิยมไม่ซ้ำ 2.449897. . ., 3.9681187. . . หรือกระทั่งจำนวนที่ติดอยู่ในรูปลักษณะพิเศษ เช่น $\pi$ , c (c = 2.718 เป็นค่าประมาณ)

เอ้า จบซักทีสำหรับองค์ประกอบที่สำคัญๆของจำนวนจริง หลังจากนี้จะต้องมีคนงุนงงสงสัยอย่างแน่นอนว่า แล้วความสัมพันธ์ระหว่างจำนวน ตรรกยะ และจำนวนอตรรกยะนั้น มันเกี่ยวเนื่องกันอย่างไร ทำไมถึงได้กลายมาเป็นจำนวนจริงได้

สงสัยกันนัก ก็จะบอกคะ ซึ่งก็คือ เมื่อเรานำเซตของจำนวนตรรกยะ มายูเนียนกับจำนวนอตรรกยะ เราก็จะได้เซตที่เรียกว่า “เซตของจำนวนจริง” ซึงในที่นี้เราเขียนแทนสัญลักษณ์ด้วย $\mathcal{R}$ และเรามีนิยามเล็กๆเพื่อให้ง่ายต่อความเข้าใจด้วยว่า

$\mathcal{R} = \{x| x$ เป็นจำนวนตรรกยะ หรือ

เป็นจำนวนอตรรกยะ $\}$

เอ่ยไปแล้ว ก็หวังว่าเพื่อนๆยังคงจำเนื้อหาเดิมๆเกี่ยวกับเรื่องเซตได้นะคะ และส่วนประกอบหลักๆของระบบจำนวนจริง ก็คงจะมีเพียงเท่านี้คะ หวังว่าเพื่อนๆ คงจะสนุกสนานกับแบบฝึกหัดท้ายบทกันนะคะ

ด้วยเหตุที่เซตของจำนวนตรรกยะ $\mathcal{Q}$ และเซตของจำนวนอตรรกยะ $\mathcal{Q}$ เป็นเซตต่างสมาชิก และเมื่อนำมายูเนียนกันแล้ว จะได้เซต $\mathcal{R}$ ดังนั้น เซตของจำนวนอตรรกยะ $\mathcal{Q}$

แบบฝึกหัด1

1. จงพิจารณาจำนวนที่กำหนดให้ต่อไปนี้ว่าเป็นจำนวนชนิดใด และทำเครื่องหมายในตาราง

ข้อ	จำนวน	$\mathcal{N}$	$\mathcal{I}$	$\mathcal{Q}$	$\mathcal{Q}$	$\mathcal{R}$	ไม่ใช่ $\mathcal{R}$
1	$- \sqrt{81}= - 9$
2	$\sqrt{18}$
3	$\displaystyle{\frac{10}{3}}$
4	-1.255
5	$3\pi$
6	$7.3434\cdots$
7	$\sqrt{-25}$
8	$9-\sqrt{4}$
9	$\displaystyle{\frac{\sqrt{27}}{-\sqrt{3}}}$
10	$3-\sqrt{-1}$

(เลือกได้มากกว่าหนึ่งช่อง)

2. จงบอกว่าประโยคต่อไปนี้ ข้อใดเป็นจริง และข้อใดเป็นเท็จ

1. จำนวนตรรกยะทุกจำนวนเป็นจำนวนเต็ม
2. จำนวนตรรกยะทุกจำนวนเป็นจำนวนจริง
3. ผลหารของจำนวนเต็ม 2 จำนวน เป็นจำนวนเต็มเสมอ
4. ผลคูณของจำนวนตรรกยะกับจำนวนอตรรกยะต้องเป็นจำนวนอตรรกยะ
5. จำนวนเต็มทุกจำนวนเป็นจำนวนตรรกยะ

สมบัติของจำนวนจริง

ถึงตอนนี้ พวกเราก็มาทำความรู้จักกับคุณสมบัติต่างๆของระบบจำนวนจริงกันบ้างดีกว่านะคะ โดยที่เราทราบกันมาก่อนแล้วใช่ไหมคะว่า ระบบจำนวนนั้นหมายถึง เซตของจำนวนนั่นเอง ซึ่งอาจจะนำมากระทำกันให้อยู่ในรูปของ การบวก การลบ การคูณ การหาร หรืออะไรอื่นๆอีกเยอะแยะ แต่ว่าในระบบจำนวนจริง ที่เราจะกล่าวถึงในตอนนี้ จะต้องประกอบด้วยเซตของจำนวนจริง และการกระทำซึ่งจะมีแค่การบวก กับการคูณ เท่านั้นนะคะ ซึ่งมีคุณสมบัติดังตารางทางด้านล่างนี้นะคะ

คุณสมบัติ	การบวก	การคูณ
ปิด	$a+b \in \mathcal{R}$	$ab \in \mathcal{R}$
การสลับที่
การเปลี่ยนกลุ่ม
การมีเอกลักษณ์	0 เป็นเอกลักษณ์ของการบวก	1 เป็นเอกลักษณ์ของการคูณ
การมีอินเวอร์ส	อินเวอร์สการบวกของจำนวนจริงคือ คือ โดยที่	อินเวอร์สการคูณของจำนวนจริง คือ $\displaystyle{\frac{1}{a}}$ และ $a\neq 0$ โดยที่ $\displaystyle{a(\frac{1}{a})=1}$
การกระจาย

ในเมื่อพวกเรารู้จักคุณสมบัติต่างๆกันแล้วละก็ นำความรู้ที่ได้มาทดสอบตัวเองกันเถอะ

แบบฝึกหัด 2

1. จงใส่คำตอบของโจทย์แต่ละข้อลงในตารางที่กำหนดให้

	มีอินเวอร์สการบวก	มีอินเวอร์สการคูณ
1. $\displaystyle{-\frac{1}{8}}$
2. $\displaystyle{\frac{1}{5}}$
3. $\displaystyle{\frac{1}{a}}$
4. $\displaystyle{-\frac{\sqrt{3}}{3}}$
5. $\displaystyle{\frac{1-\sqrt{5}}{2}}$
6. $\displaystyle{\sqrt{5}}$

ก่อนจะมากล่าวถึงกันในหัวข้อต่อไปที่น่าสนใจมากๆนี้นะคะ เราก็คงจะเรียนรู้มามากพอแล้วสำหรับความหมายของคำว่า จำนวนจริง รวมถึง คุณสมบัติต่างๆของระบบจำนวนจริงกันอีกด้วยนะคะ

ดังนั้น ในตอนนี้ เราจะมาดูกันว่าคุณสมบัติของจำนวนจริงนี่ละ ที่มีความสำคัญมากสำหรับการนำไปใช้แก้ปัญหาโจทย์บางอย่าง ในที่นี้ก็คือ การนำคุณสมบัติของระบบจำนวนจริง มาทำการแก้สมการพหุนาม ที่อาจจะมีดีกรีมากกว่า หรือเท่ากับหนึ่งก็ได้

แล้วเพื่อนๆยังจำเรื่องนี้กันได้อยู่หรือเปล่าคะ เพราะพวกเราเคยเรียนผ่านกันมาแล้วทั้งนั้นเลยคะ แต่เอาเป็นว่า เรามาทบทวนกันอย่างง่ายๆก่อนเข้าสู่เนื้อหากันก่อนก็แล้วกันนะคะ

หน้าถัดไป (หน้า 2) »»

หน้าที่ -1- 2- 3- 4- 5- 6-

ความคิดเห็นที่ 58 22 พ.ย. 2551 (22:04)

ขอบคุณมากเลยครับ ดีมากเลยทำให้มีความเข้าใจเรื่องจำนวนจริงมากขึ้นอีก . แต่คงต้องใช้เวลาในการทำความเข้าใจ..

โดย Thawpen

ความคิดเห็นที่ 57 20 พ.ย. 2551 (07:59)

ดีมากๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆ 119264

โดย สุทธินี ทองโกย

ความคิดเห็นที่ 56 16 พ.ย. 2551 (13:18)

ขอบคุณมากครับ อาณาจักรตัวเลขนี่ใหญ่จริง พอหมดจำนวนจริงก็มีจำนวนจินตภาพ เชิงซ้อนอะไรอีกเหอะๆๆ ไม่รู้คิดมาได้อย่างไร

ร่วมแบ่งปันเทคนิคและประสบการณ์ดีๆ ได้ที่นี่ http://www.bornbin.com

โดย BigBin

ความคิดเห็นที่ 55 16 พ.ย. 2551 (10:06)

ขอบคุณมากค่ะ กำลังอยากจะทบทวน อ่านแล้วเข้าใจง่าย มีแบบฝึกหัดทดสอบความเข้าใจด้วย

โดย PLAMEE

ความคิดเห็นที่ 54 16 ต.ค. 2551 (11:47)

ผมมีครอบครัวมีลูกๆเรียนหนังสืออยู่ชั้นม.ต้น ตอนผมเรียนหนังสือบางวิชาซึ่งเป็นวิชาการจะไม่ค่อยชอบเรียนเลย แต่ตอนนี้ต้องคุยเรื่องเรียนหนังสือของลูกๆ จึงต้องการค้นคว้าเพิ่มเติมจากหนังสือเรียนของลูกๆ ซึ่งคิดว่า Web วิชาการให้ประโยชน์กับผมอย่างดียิ่ง ซึ่งยังมีผู้ปกครองอีกมากอยู่ในสถานะการณ์เดียวกัน จึงคิดว่าเป็นประโยชน์อย่างยิ่ง
ขอบคุณมากๆครับ 114508

โดย wichaiyainirut

ความคิดเห็นที่ 53 6 ต.ค. 2551 (18:32)

อยากทราบคำตอบเเละวิธีทำข้อนี้อย่างละเอียด

ถ้า X^2-X-6 เป็นตัวประกอบของพหุนาม X^4+px^3+qx-12
แล้ว p^2-q มีค่าเท่าไหร่

ตัวอย่างข้อสอบเข้า ม.4 โรงเรียน มหิดล

โดย teee

ความคิดเห็นที่ 51 3 ต.ค. 2551 (15:46)

ขอบคุณคะ

โดย aommis

ความคิดเห็นที่ 50 27 ก.ย. 2551 (11:35)

ดีมากคับ

โดย ddt_rinkung

ความคิดเห็นที่ 49 25 ก.ย. 2551 (16:11)

ดีมากมากเลยคร้า

ทาวนความรู้ให้ตั้งแต่พื้นฐานเลย

ดีมากๆๆ

โดย minnie_ll

ความคิดเห็นที่ 48 17 ก.ย. 2551 (18:32)

ดีมากๆเลยค่า . .

กำลังจะสอบเรื่องนี้พอดีเลย . .

ทบทวนๆ..

ขอบคุณค่า

โดย katasaino

ขอโทษครับ กรุณา login ก่อนถึงจะสามารถแสดงความคิดเห็นได้ครับ

วิชาการ.คอม คือ ใคร? || กฏ กติกา มารยาท || ติดต่อลงโฆษณา || ร่วมงานกับเรา

ติดต่อลงโฆษณา :	คุณอันนา 086-4907600, 0-2583-2802 และ 086-4907585
สำนักงาน :	0-2642-7828
อีเมล์ :

คลิ๊กเพื่อดูสถิติ

รับรองและสนับสนุนโดย

สสวท.

มูลนิธิ พสวท.

พสวท.